先解释一下问题

常见的排序算法一般分为以下两种：

1，比较排序：指将待排序的元素两两比较，满足一定条件时交换位置，直到排序完成为止，比如选择排序、快速排序等

2，非比较排序：非比较类排序则不涉及元素之间的比较，而是将元素按照一定类别分类，最后将不同的类别按大小顺序接在一起以完成排序，一般时间复杂度为O(n)，比如计数排序、桶排序等

而下界就是对于一个长度为n的序列所需要的最少比较次数，又分最坏下界和最优下界

最优下界，考虑一种特殊情况，该情况下算法的比较成功导致代码块执行次数最少，这种情况就是最优下界

最坏下界，该情况下算法的比较成功次数最多，这个算法的任何其他情况不可能比这种情况执行的更慢了

那么问题来了，基于比较的排序算法的最坏情况下的最优下界为什么是O(nlogn)，为什么不能比O(nlogn)更小

决策二叉树

了解决策树是解决这个问题的关键

决策树的每一个结点的两个子节点都代表一次判断引出的两个结果，而这个结点就代表当前情况，叶子节点代表这个问题的所有可能，路径是判定条件

来用顺序搜索和二分查找来理解一下决策树

二分思想的决策树十分平衡，因此每次猜测无论是对还是错都能将够将数字的范围缩小一半。最优下界即二叉树的深度，具有L片树叶的二叉树的深度至少是logL，所以logn是n个数字的下界

而顺序搜索那棵二叉树，虽然很有可能在第一次分支处就找到答案，但是却有很大的概率会失败（需要接着往下猜），这个时候回过头来看刚刚的决策——仅仅将范围缩小了一点点，所以n是此算法的n个数字的下界

比较排序的决策树模型

a1,a2,a3……an放在一个数组中总共有n!种情况，其中它们按顺序排序所占的概率是1/n!，以此所有排序算法的决策树都有n!个叶结点

如果想要这颗树尽可能低，那么它应该是一个满二叉树，根据满二叉树定理，因此结点总个数就是2*N!-1。又同时它是一颗很平衡的二叉树，即每个结点的左右子树的高度之差不大于1，所以把最底层所有结点向右靠齐，可得到一个完全二叉树。完全二叉树的高度：

d = (int)log(2 * N! - 1) + 1 = (int)log(2 * (N! - 1/2)) + 1 > log(2 * (N! -1/2)) >= log(N!)

这个公式简单来说就是有n个叶节点的满二叉树高度为logn，因此n！个叶节点的满二叉树高度为log（n！）

接下来就是证明log(n!)=Θ(nlogn)

1，log(n!)=O(nlogn) 显然n!<n^n，两边取对数就得到log(n!)<nlog(n)

2，log(n!)=Ω(nlogn) n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…1，把前n/2个因子（都大于n/2）全部缩小到n/2，后n/2个因子全部舍去，得 n!>(n/2)^(n/2)。两边取对数，log(n!)>(n/2)log(n/2)，后者即Ω(nlogn)

一个例子

假设有一组三个元素的序列,我们用A，B，C来分别表示这三个元素，我们基于比较来对它排序。我们看到根节点一共有6种情况，我们执行排序算法，是需要找到我们想要的唯一情况，则排序算法就变成了下图所示的选择算法，可以有下列决策树 这是一个比较排序算法的决策树，虽然现在看上去非常平衡，基本和快排、堆排时间复杂度一致，但是随着元素的增加，这个树会越来越不平衡。但是无论如何，最差的情况都是叶节点，而从根节点到叶节点，需要经过 Ω(nlogn) 次选择